Question

設M是圓x²+y²-6x-8y=0上動點，O是原點，N是射線OM上點，若|OM|•|ON|=120，求N點的軌跡方程．

Answer 1

分析：先設M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x，y），欲求出動點N的軌跡方程，只須求出x，y的關系式即可，結合|OM|•|ON|=120關系式，用坐標來表示距離，利用直線的斜率與坐標的關系即可求得點N的軌跡方程．

解答：解：設M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x，y），
由題設|OM|•|ON|=120，得

x 2 1 + y 2 1

•

x2+y2

=120，
當x₁≠0，x≠0時，有

y

x

=

y1

x1

，設

y

x

=

y1

x1

=k，
有y=kx，y₁=kx₁，則原方程為x₁²+k²x₁²-6x₁-8kx₁=0，
由于x≠0，所以（1+k²）x₁=6+8k，
又|x₁x|（1+k²）=120，因為x與x₁同號，
所以x₁=

120

(1+k2)x

，代入上式得

120

x

=6+8k，
因為k=

y

x

，所以

120

x

=6+8

y

x

，即3x+4y-60=0，
當x₁=0時，y₁=8，解得x=0，y=15，也滿足方程3x+4y-60=0，
所以點N的軌跡方程是3x+4y-60=0．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一   求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．本題求曲線的軌跡方程采用的方法是直接法，直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．