Question

【題目】已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且．

（1）求的值；

（2）若在（其中）上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試分題析：對(duì)問題（1）首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并令，再結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可得到值的；對(duì)題問（2）可以根據(jù)（1）的結(jié)論，并結(jié)合對(duì)的討論，進(jìn)而可求出的取值范圍；對(duì)問題（3），可以通過引入函數(shù)，并通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可證明，再根據(jù)已知條件可以證明，進(jìn)而可證明所需結(jié)論.

試題解析：（1）∵，

∴由得，∴，∴

∴由得，

∵，∴，

（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增，其中，

當(dāng)在上遞減時(shí)， ，又，∴，

當(dāng)在上遞增時(shí)， ，

綜上，的取值范圍為

（3）證明：設(shè)，則，令得；令得，

∴，∴

∵（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

∴不等式成立（因?yàn)槿〉葪l件不相同，所以等號(hào)取不到）