Question

（2013•和平區(qū)一模）若拋物線y²=ax上恒有關于直線x+y-1=0對稱的兩點A，B，則a的取值范圍是（　�。�

• A．（-

  4

  3

  ，0）
• B．（0，

  3

  4

  ）
• C．（0，

  4

  3

  ）
• D．（-∞，0）∪（

  4

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：設出A，B兩點的坐標，因為A，B在拋物線上，把兩點的坐標代入拋物線方程，作差后求出AB中點的縱坐標，又AB的中點在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標，然后由AB中點在拋物線內部列不等式求得實數a的取值范圍．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為點A和B在拋物線上，所以有y12=ax1①
y22=ax2②
①-②得，y12-y22=a(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

a

y1+y2

，
因為A，B關于直線x+y-1=0對稱，所以k_AB=1，即

a

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=a．
設AB的中點為M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

a

2

．
又M在直線x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-

a

2

．
則M（1-

a

2

，

a

2

）．
因為M在拋物線內部，所以y02-ax0＜0．
即

a2

4

-a(1-

a

2

)＜0，解得0＜a＜

4

3

．
所以a的取值范圍是（0，

4

3

）．
故選C．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了點差法，是解決與弦中點有關問題的常用方法，解答的關鍵是由AB中點在拋物線內部得到關于a的不等式，是中檔題．