Question

已知拋物線C：y²=4x，過點A（x₀，0）（其中x₀為常數，且x₀＞0）作直線l交拋物線于P，Q（點P在第一象限）；
（1）設點Q關于x軸的對稱點為D，直線DP交x軸于點B，求證：B為定點；
（2）若x₀=1，M₁，M₂，M₃為拋物線C上的三點，且△M₁M₂M₃的重心為A，求線段M₂M₃所在直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出直線PD的方程，令y=0，求出x，設l：y=k（x-x₀），代入拋物線方程，化簡即可得到結論；
（2）設lM1M2：y=kx+m，代入拋物線方程，利用韋達定理及重心坐標，求出M₁的坐標，利用M₁在拋物線y²=4x上，即可求得結論．

解答：（1）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則D（x₂，-y₂），直線PD的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，x=

x2y1+x1y2

y1+y2

=

y22 4 •y1+ y12 4 •y2

y1+y2

=

y1y2

4

，
設l：y=k（x-x₀），代入拋物線方程，得到ky²-4y-4kx₀=0，∴y₁y₂=-4x₀
∴x=x₀，即B（x₀，0）為定點；
（2）解：A（1，0），設lM1M2：y=kx+m，M₁（x₁′，y₁′），M₂（x₂′，y₂′），M₃（x₃′，y₃′），M₂M₃中點E（x_E′，y_E′），
lM1M2：y=kx+m代入拋物線方程，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴x₁′+x₂′=

4-2km

k2

，
∴y₁′+y₂′=

4

k

，
∴E（

2-km

k2

，

2

k

），
∵2

EF

=

FM1

，∴M₁（3-

4-2km

k2

，-

4

k

），
∵M₁在拋物線y²=4x上，
∴

16

k2

=4(3-

4-2km

k2

)
∴3k²+2km=8，
又△＞0得16-16km＞0，∴km＜1，
∴2km=8-3k²＜2，
∴k²＞2，
∴k＞

2

或k＜-

2

．

點評：本題考查直線恒過定點，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．