Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且｜F₁F₂｜＝2，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動(dòng)直線(xiàn)：與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，且，，四邊形面積S的求最大值.

Answer 1

（I）；（II）.

試題分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)已知條件列方程組，求出和的值，然后寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）根據(jù)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，聯(lián)立方程組求的關(guān)系式，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得和的代數(shù)式，因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪危�根�?jù)邊的關(guān)系求得高的代數(shù)式，由梯形的面積公式表示出面積，利用等量代換，化簡(jiǎn)的解析式，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值.
試題解析：（I）設(shè)橢圓的方程為，
由已知可得   ，                            3分
解得，，
∴橢圓的方程為.                   5分
（II）由，得         6分
由直線(xiàn)與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，，
化簡(jiǎn)得．      7分
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可設(shè)
，                 8分
∵，
，
∴.
∴四邊形面積.             10分                      

令，，，
當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，
∴，∴當(dāng)時(shí)，
所以四邊形的面積的最大值為．                    12分