Question

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知橢圓C：

x2

4

+y2=1．
（1）過橢圓C的右焦點作一條垂直于x軸的垂軸弦MN，求MN的長度；
（2）若點P是橢圓C上不與頂點重合的任意一點，MN是橢圓C的短軸，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0）（如圖），求x_E?x_F的值；
（3）在（2）的基礎上，把上述橢圓C一般化為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，MN是任意一條垂直于x軸的垂軸弦，其它條件不變，試探究x_E?x_F是否為定值？（不需要證明）；請你給出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中相類似的結論，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1） 把右焦點的橫坐標 x=

3

代入橢圓C的方程，求得y=±

1

2

，故得 MN=1．
（2）設 P（x₀，y₀），求出的l_MP 方程，令 y=0，則 得x_E，同理求得 x_F，再根據M，P 在橢圓C上，計算出x_E•x_F的值．
（3）先判斷x_E•x_F 為定值，再進行證明，先求出x_E 和x_F的值，再利用M，P 在雙曲線上，得到坐標間的關系，代入x_E•x_F 的表達式進行運算．

解答：解：（1）由條件可知右焦點的坐標為（

3

，0），x=

3

代入橢圓C的方程

x2

4

+y2=1，
得y=±

1

2

，所以，MN=1．
（2）設 P（x₀，y₀），M（0，1），N （0，-1），則 l_MP：y-1=

y0-1

x0

 x，
令 y=0，則  x_E=

-x0

y0-1

，同理可得：x_F=

x0

y0+1

，∴x_E•x_F=

-x02

y02-1

．
∵M，P 在橢圓C：

x2

4

+y2=1 上，∴y02= 1-

x02

4

，
則 x_E•x_F=

-x02

(1- x02 4 )-1

=

-x02

1 4  (-x02 )

=4．
（3）點P是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
直線 MP、MN分別交x軸于點E （x_E，0）和點F（x_F，0），則 x_E•x_F=a²．
點P是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP，
MN分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則 x_E•x_F=a²．
證明如下：設M（m，n），N（m，-n），P（x₀，y₀），則 l_MP：y-n=

y0-m

x0-m

(x-m)，
令 y=0，則  x_E=

my0-nx0

y0-n

，同理可得：x_F=

my0+nx0

y0+n

，x_E•x_F=

m2y02-n2x02

y02-n2

．
∵M，P 在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0) 上，∴n²=b² （

m2

a2

-1），y₀²=b²（

x02

a2

-1），
則  x_E•x_F=

m2b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)x02

b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)

=

b2(x02-m2)

b2 a2 (x02-m2)

=a²．

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用．