Question

已知雙曲線x²-y²=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
(2)過雙曲線的左焦點(diǎn)F₁，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，期中，F(xiàn)₂是雙曲線的右焦點(diǎn)，求△F₂MN的面積S關(guān)于傾斜角的表達(dá)式。

Answer 1

(1)(可以寫出范圍：或)，不寫也不扣分)；
(2)

試題分析：(1) 這類問題基本方法是設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程化簡后可得，同時(shí)設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，又，即，再代入即得出所求中點(diǎn)軌跡方程；對(duì)于求圓錐曲線中點(diǎn)軌跡方程，我們還可以采取設(shè)而不求的方法，即設(shè)，中點(diǎn)，只要把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，所得兩式相減，即可得出與的關(guān)系，前者是直線的斜率，后者正是點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，由此可很快得到所求軌跡方程；(2) 設(shè)，，由于，因此，而可以用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去可得的一元二次方程，從這個(gè)方程可得，從而得三角形面積，但要注意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)需另外求．
試題解析：（1）解法1：設(shè)直線方程為，
代入雙曲線方程得：， 2分
由得.設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則有；又由韋達(dá)定理知：， 4分
所以，即得點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.    5分
注：或，點(diǎn)的軌跡為兩條不包括端點(diǎn)的射線.
解法2：設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則有，，兩式相減得：（*）.  2分
又因?yàn)橹本�的斜率為2，所以，再由線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，得
.  4分
代入（*）式即得點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.      5分
（2），，直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)，△的面積=.         6分
直線與軸不垂直時(shí)，直線方程為，         7分
設(shè)，
解法1：將代入雙曲線，整理得：，即
         9分
所以，         10分

=.         13分
所以，.         14分
解法2：參見理科解法2。