Question

過點M(-2,0)的直線l與橢圓x²+2y²=2交于P₁、P₂兩點,線段P₁P₂的中點為P,設直線l的斜率為k(k≠0),OP斜率為k′.

(1)證明k×k′為定值;

(2)求△OMP面積的取值范圍.

Answer 1

(1)證明：設P(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),代入橢圓作差得×=-,

即k×k′=-.

(2)解：S_△OMP=|OM|×|y_P|=|y_P|=||,

把y=k(x+2)代入橢圓x²+2y²=2,

消去x得y²-y+2=0,                                                    ①

由根與系數的關系得=,

∴S_△OMP==≤,

等號在2|k|=,即k=±時成立,此時方程①的Δ=0,即直線與橢圓相切,不合題意,

∴△OMP面積的取值范圍是(0,).