Question

【題目】如圖（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，現沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體如圖（2），使G1、G2、G3三點重合于點G．證明：

（1）G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心；
（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設G在平面SEF上的射影為點H，則GH⊥平面SEF．

∵折前SG1⊥G1E、SG3⊥G3F，

∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，

∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF

∵ ， ，SG∩GH=G，

∴EF⊥平面SGH

∵SH平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H為△SEF的垂心．

（2）解：過G作GO⊥SE交SE于點O，連OH，

則∠GOH即為所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．

∵ ，

又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，

∴SE⊥平面GHO∵OH平面GHO，

∴SE⊥OH，∴∠GOH為所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．

設正方形SG1G2G3的邊長為1，

則在Rt△SEG中， ∴

又 ，

∴sin∠GOH= = ，∴二面角G﹣SE﹣F的正弦值為 ．

【解析】（1）根據線面垂直的性質定理即可證明G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心；（2）根據二面角平面角的定義作出二面角的平面角，結合三角形的邊角關系即可求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．