Question

已知定義域為R（實數集）的函數，f（x）中，f（0）=1
且當n-1≤x＜n（n∈Z）時，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
（Ⅰ）求f（2）的值及當x∈[3，4）時，f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性，并說明理由；
（Ⅲ）“定義：設g（x）為定義在D上的函數，若存在正數M，對任意x∈D都有|g（x）|≤M，則稱函數g（x）為D上有界函數；否則，稱函數g（x）為D上無界函數．”試證明f（x）為R上無界函數．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得f（0）=（0-1）f（0）+f（1），
∵f（0）=1∴f（1）=2
同理得：∴f（2）=4（2分）
又對任意n∈Z，f（n）=（n-n-1）f（n）+f（n+1）
即　　2f（n）=f（n+1）（4分）
當n∈N₊時，f（n）=2f（n-1）=2²f（n-2）=…=2ⁿf（0）=2ⁿ
當n∈N_-時，f（0）=2f（-1）=2²f（-2）=…=2^-nf（n），
即　　f（n）=2ⁿ．　　　 （7分）
綜上可得：f（n）=2ⁿ（n∈Z）
當x∈[3，4）時，f（x）=f（3）（x-4）+f（4）=8x-16（8分）
（Ⅱ）f（x）是定義域上的增函數．
任意取兩個實數x₁，x₂，設x₁＜x₂
①若n-1≤x₁＜x₂＜n，則f（x₁）-f（x₂）=f（n-1）（x₁-n）+f（n）-f（n-1）（x₂-n）-f（n）
=f（n-1）（x₁-x₂）=2^n-1（x₁-x₂）＜0（12分）
②若n₁-1則x₁＜n₁n-1＜x₂＜n，
依①可得　　f（x₂）…f（n-1）
事實上　　f（n-1）=2^n-1，，∵n₁，n-1
∴f（n₁），f（n-1）∴f（x₂）≥f（n₁）
綜上所述：f（x₁）＜f（x₂）（16分）
所以，f（x）是定義域上的增函數．
（Ⅲ）對任意M＞0，取M₀＞M，且log₂M₀∈Z，
記x₀=log₂M₀
則：
所以　　f（x）為R上無界函數．　　　　　 （20分）
分析：（Ⅰ）令x=0，求出f（1）的值，進而得出f（2）的值；令x=n，得出2f（n）=f（n+1），進而求出當n∈N₊時，f（n）=2ⁿ，當n∈N_-時，f（n）=2ⁿ，即可求出f（x）的表達式．
（Ⅱ）取兩個實數x₁，x₂，設x₁＜x₂，①若n-1≤x₁＜x₂＜n，則f（x₁）-f（x₂）=2^n-1（x₁-x₂）＜0；若n₁-1則x₁＜n₁n-1＜x₂＜n，f（x₂）≥f（n₁），即可得出結果．
（Ⅲ）對任意M＞0，取M₀＞M，且log₂M₀∈Z，記x₀=log₂M₀，則：f（x₀）=2^log₂M₀=M₀＞M，即可得出結論．
點評：本題考查了函數單調性的判斷和證明以及函數的恒成立問題，此題的難度較大，要認真審題，仔細作答．