Question

（本小題滿分12分）

如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點。

   （1）證明：；

   （2）求與平面所成角的正弦值。

                                             

Answer 1

  , 

解析:

方法一：（1）根據已知在長方體，

在中， ，（3分）

同理可求，，（理3分，文4分）

∴，∴，即。（6分）

   （2）設點到平面的距離為，連結，則 ，

∴，（8分）

而，在中， ，（10分）

，所以，∴，

即點到平面的距離為，

故與平面所成角的正弦值為．（12分）

方法2：（1）以點為原點，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，（2分）

依題意，可得 。（4分）

∴，

，

∴ ，

即，∴。（6分）

   （2）設，且平面，則

  ， 即，

∴解得，

取，得，所以與平面所成角的正弦值為

   。（12分）