Question

如圖，設同底的兩個正三棱錐P-ABC和Q-ABC 內接于同一個球O．若正三棱錐P-ABC的側面與底面所成的角為 45°，則正三棱錐Q-ABC的側面與底面所成角的正切值是________．

Answer 1

4
分析：取AB的中點M，連接PM，QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，故∠PMC是側面PAB與底面所成二面角的平面角，∠QMC是側面QAB與底面所成二面角的平面角，由此可得結論．
解答：如圖，取AB的中點M，連接PM，QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB
∴∠PMC是側面PAB與底面所成二面角的平面角，∠QMC是側面QAB與底面所成二面角的平面角，
∴∠PMC=45°，
設PR=h，OP=R，則MR=h，OR=R-h，
∴R²=4h²+（R-h）²，
∴R=2.5h
∴QR=4h
∵MR=h
∴正三棱錐Q-ABC的側面與底面所成角的正切值是=4
故答案為：4．
點評：本題考查面面角，考查學生的計算能力，正確作出面面角是關鍵，屬于中檔題．