Question

設函數f(x)=a-

2

2x+1

，
（1）求證：不論a為何實數f（x）總為增函數；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用單調性的定義來證明．
（2） f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x）對所有x都成立求出a．
（3）f（x）+a＞0恒成立轉化為2a＞

2

2x+1

恒成立，找

2

2x+1

的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定義域為R，設x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數f（x）總為增函數．

（2）∵f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1．∴f(x)=1-

2

2x+1

.
（3）∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
∵f(x)=a-

2

2x+1

，∴f（x）+a＞0可化為2a-

2

2x+1

＞0，
即2a＞

2

2x+1

．故要使f（x）+a＞0恒成立，只須2a≥2，
即a≥1．

點評：本題是一道難度中檔的綜合題，第三問是函數方面的恒成立問題，恒成立問題一般有兩種情況，一是f（x）＞a恒成立，只須比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只須比f（x）的最大值大即可．