Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2處的切線經過點（﹣4，2ln2）
（1）討論函數f（x）的單調性
（2）若不等式 恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R），求導f′（x）= +a+ ，

當x=2時，f′（2）=1+a+f′（2），

∴a=﹣1，

設切點為（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），則切線方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），

將（﹣4，2ln2）代入切線方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），則f′（2）=﹣ ，

∴f′（x）= ﹣1﹣ = ≤0，

∴f（x）在（0，+∞）單調遞減

（2）解：由不等式 恒成立，則 （2lnx+ ）＞m，

令φ（x）=2lnx+ ，（x＞0）求導φ′（x）= ﹣ ﹣1=﹣（ ﹣1）2≤0，

∴φ（x）在（0，+∞）單調遞減，

由φ（1）=0，

則當0＜x＜1時，φ（x）＞0，

當x＞1時，φ（x）＜0，

∴ （2lnx+ ）在（0，+∞）恒大于0，

∴m≤0，

實數m的取值范圍（﹣∞，0]

【解析】（1）求導，當x=2時，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得點斜式方程，將（﹣4，2ln2）代入點斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函數f（x）的單調區間；（2）由題意可知 （2lnx+ ）＞m，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性及零點性質，求得 （2lnx+ ）最小值，即可求得實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．