Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l．
（1）求拋物線上任意一點Q到定點N（2p，0）的最近距離；
（2）過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，并在準線l上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：

kMA+kMB

kMF

是一個定值，并求出這個值．（其中k_MA，k_MB，k_MF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

Answer 1

分析：（1）可以設出點Q坐標，用Q點坐標表示|QN|，再利用二次函數求最值即可．
（2）因為過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，可設出直線方程的點斜式，代入拋物線方程，消x，得到y²-2pmy-p²=0，求兩根之和，兩根之積，這樣，就可以用A，B含k的式子表示

kMA+kMB

kMF

，再消掉k，即可得結果，為一定值．

解答：解：（1）設點Q（x，y），則|QN|²=（x-2p）²+y²=（x-p）²+3p²
當x=p時，|QN|min=

3

p
（2）由條件設直線AB：x=my+

p

2

代入y²=2px
得y²-2pmy-p²=0，
設A(x1，y1)， B(x2，y2)， M(-

p

2

，y0)
則y1+y2=2pm，  y1y2=-p2，  x1+x2=2pm2+p，  x1x2=

p2

4

kMA+kMB=

y1-y0

x1+ p 2

+

y2-y0

x2+ p 2

=

(x2+ p 2 )(y1-y0)+(x1+ p 2 )(y2-y0)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

y1(my2+ p 2 + p 2 )+y2(my1+p)-y0(x1+x2+p)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

2my1y2+p(y1+y2)-y0(x1+x2+p)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=-

2y0

p

又kMF=-

y0

p

所以

kMA+kMB

kMF

為定值2．

點評：本題考查了只限于圓錐曲線的位置關系的判斷，做題時應該認真分析，找到突破口．