Question

（1）若，求的最大值。
（2）為何值時，直線和曲線有兩個公共點。

Answer 1

（1）；（2）點P的坐標為；
（3）當時，d取最小值。

試題分析： （1）根據已知條件，結合一正二定，三相等的思想來求解最值。
（2）聯立方程組，根據得到的方程的解的個數得到結論。
（1）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，
∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，
∴所求的橢圓方程為                   …………4分
（2）由已知,，設點P的坐標為，則
由已知得
             …………6分
則，解之得，       
由于y>0，所以只能取，于是，所以點P的坐標為……8分
（3）直線，設點M是，則點M到直線AP的距離是，于是，
又∵點M在橢圓的長軸上，即         …………10分
∴當時，橢圓上的點到的距離
   
又  ∴當時，d取最小值         …………12分
點評：解決該試題的關鍵是能根據題中的條件，得到均值不等式的結構，求解最值也可以通過二次函數的性質來求解最值，同時要對于直線與雙曲線的位置關系，通過聯立方程組，轉換為方程的解的問題來得到。