Question

已知棱長等于2

3

的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷：①該正方體外接球的體積是36π；②異面直線OE與B₁C所成角為90°；③PE長的最大值為3+

6

；④過點E的平面截球O的截面面積的最小值為6π．其中所有正確判斷的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：根據正方體外接圓的直徑是正方體的體對角線可求外接圓的半徑；當過球內一點E的截面與OE垂直時，截面面積最小可求截面半徑；
球面上到球內一點距離最大時，是在球的直徑的一個端點上等知識求解．

解答：解：∵外接球的半徑R=

(2 3 )2+(2 3 )2+(2 3 )2

2

=3，∴V_球=

4

3

π×27=36π，∴①√；
∵OE∥BC₁，BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，∴②√；
∵當P、E、O在一條直線時，PE長最大，∴PE長的最大值是R+

(2 3 )2+(2 3 )2

2

=3+

6

，∴③√；
∵當過點E的平面與OE垂直時，截面面積最小，r=

R2-|OE|2

=

3

，S=π×3=3π，∴④×；
 故答案是①②③

點評：本題考查空間幾何體的體積、面積計算及接體問題，找準量化關系是關鍵．