Question

【題目】某種樹苗栽種時高度為A(A為常數)米，栽種n年后的高度記為f(n)．經研究發現f(n)近似地滿足 f(n)＝，其中，a，b為常數，n∈N，f(0)＝A．已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍．

（1）栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍；

（2）該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大．

Answer 1

【答案】（1）栽種年后，該樹木的高度是栽種時高度的倍；（2）第年的增長高度最大．

【解析】

試題（1）由題中所給條件，運用待定系數法不難求出，進而確定出函數，其中．由，運用解方程的方法即可求出，問題得解; （2）由前面（1）中已求得，可表示出第n年的增長高度為 ，這是一個含有較多字母的式子，這也中本題的一個難點，運用代數化簡和整體思想可得：，觀察此式特征能用基本不等式的方法進行求它的最值，即：，成立的條件為 當且僅當時取等號，即可求出．

試題解析： （1）由題意知．

所以解得． 4分

所以，其中．

令，得，解得，

所以．

所以栽種９年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍． 6分

（2）由（1）知．

第n年的增長高度為 ． 9分

所以

12分

．

當且僅當，即時取等號，此時．

所以該樹木栽種后第5年的增長高度最大． 14分