Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦點為F₁，F₂，拋物線C：y2=2px以F₂為焦點且與橢圓相交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），點M在x軸上方，直線F₁M與拋物線C相切．
（1）求拋物線C的方程和點M、N的坐標；
（2）設A，B是拋物線C上兩動點，如果直線MA，MB與y軸分別交于點P，Q．△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由．

Answer 1

（1）由橢圓方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1．
∴橢圓焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又拋物線C的焦點為(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2．∴拋物線C的方程：y²=4x．
∵點M（x₁，y₁）在拋物線C上，
∴

y

21

=4x1，直線F₁M的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)．
代入拋物線C得

y

21

(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．
∴x1x2-(

x

21

+1)x+x1=0         
∵F₁M與拋物線C相切，∴△=(

x

21

+1)2-4

x

21

=0，∴x₁=1．
∴M、N的坐標分別為（1，2）、（1，-2）．    
（2）直線AB的斜率為定值-1．
證明如下：設A(

y 21

4

，y1)，B(

y 22

4

，y2)．
則kMA=

y1-2

y 21 4 -1

=

4

y1+2

，同理kMB=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0，
化為y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．
∴k_AB=

y2-y1

y 22 4 - y 21 4

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
所以直線AB的斜率為定值-1．