Question

對任意x∈R，函數f（x）的導數存在，若f′（x）＞f（x），則以下正確的是（　　）

A．f（2011）＞e²⁰¹¹?f（0）

B．f（2011）＜e²⁰¹¹?f（0）

C．f（2011）＞f（0）

D．f（2011）＜f（0）

Answer 1

分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）-f（x）＞0，而由e^-x[f′（x）-f（x）]＞0可判斷函數e^-xf（x）是單調遞增函數，結合對x取特殊值可求．

解答：解：∵f′（x）＞f（x）
∴f′（x）-f（x）＞0
∵e^-x＞0
∴e^-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e^-xf′（x）-e^-xf（x）＞0
而[e^-xf（x）]′=（e^-x）′f（x）+e^-xf′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）＞0
∴e^-xf（x）是單調遞增函數
取x=2011，
于是e^-2011f（2011）＞e^-0f（0）=f（0）
∴f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）．
故選A

點評：本題主要考查了導數的基本運算及利用導數判斷函數的單調性，這里的關鍵，是觀察和利用e^-xf（x）的導函數的形式．屬于基礎題．