【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知橢圓
：
經過點
.設橢圓的左頂點為
，右焦點為
，右準線與
軸交于點
，且為線段
的中點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過點的直線
與橢圓相交于另一點
（在軸上方），直線
與橢圓相交于另一點
，且直線與
垂直，求直線
的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據題意先得
，
，
，由
為
的中點，橢圓過點
，列出關系式，求出
，
，即可得出橢圓方程；
（2）先由題意確定直線
的斜率必存在且大于0，設直線的方程為：
，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理與題中條件，即可求出結果.
（1）因為，，，且為的中點，
所以
，則
.
即
，所以
，
.
因為點在橢圓上，
所以
，
又因為，所以
，則，.
所以橢圓的標準方程為.
（2）由題意直線的斜率必存在且大于0，
設直線的方程為：.
代入橢圓方程并化簡得：
，
因為
，
得
，
，
當
時，
的斜率不存在，此時
不符合題意.
當時，直線的方程為：
，
因為
，所以直線
的方程為：
，
兩直線聯立解得：
，因為
在橢圓上，
所以
，化簡得：
，即
，
因為
，所以
，
此時
.
直線的斜率為.
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程選講
在平面直角坐標系中，以原點為極點，以
軸非負半軸為極軸建立極坐標系， 已知曲線
的極坐標方程為
，直線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）寫出曲線和直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線
過點
與曲線交于不同兩點
，
的中點為
，與的交點為
，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中,已知點
和
,圓
是以為圓心,半徑為
的圓,點
是圓上任意一點，線段
的垂直平分線
和半徑
所在的直線交于點
.
（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程
；
（2）已知
，
是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足
（
為坐標原點），求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若直線l：x+y＝0與圓C交于A，B兩點，求弦AB的長；
（2）從圓C外一點P（x1，y1）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，四個點
，
，
，
中有3個點在橢圓
：
上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過原點的直線與橢圓交于
，
兩點（，不是橢圓的頂點），點
在橢圓上，且
，直線
與
軸、
軸分別交于
、
兩點，設直線
，
的斜率分別為
，
，證明：存在常數
使得
，并求出的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正四棱錐
中，O為頂點S在底面ABCD內的投影，P為側棱SD的中點，且
.
(1)證明:
平面PAC.
(2)求直線BC與平面PAC的所成角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】足球運動的真諦不僅在于競技，更在于增強人民體質，培養人們愛國主義、集體主義、頑強拼搏的精神.足球是人類交流的另類“語言”，而其他競技方式，無論從深度到廣度，從速度到力度，都難以與足球比肩，就交流與表達而言，足球是人類最能展露自己天性的運動.
（1）已知某國每年注冊足球運動員的人數
（萬人）與該國年度國際足聯排名
線性相關，統計數據如下表：
求變量與的線性回歸方程
，并預測該國年度國際足聯排名為第
時注冊足球運動員的人數；（參考公式：
）
（參考數據：
；
）
（2）從該國中學生中選出
名男生進行顛球挑戰，若能一次性連續顛球超過
個就可獲得一個獎勵足球，每人只能挑戰一次.已知這名男生每人能夠一次性連續顛球超過個的概率均為
，且相互獨立.求這名男生獲得獎勵足球個數
的數學期望
及獲得獎勵足球超過個的概率（精確到
）.（參考數據：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，直線
（
）與橢圓
交于
，
兩點（點在
軸的上方）.
（1）若
，求
的面積；
（2）是否存在實數
使得以線段
為直徑的圓恰好經過坐標原點
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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