Question

計算

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，可以采用以下方法：構造恒等式

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn=(1+x)n，兩邊對x求導，得

C

1 n

+2

C

2 n

x+3

C

3 n

x2+…+n

C

n n

xn-1=n(1+x)n-1，在上式中令x=1，得

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n•2n-1．類比上述計算方法，計算

C

1 n

+22

C

2 n

+32

C

3 n

+…+n2

C

n n

=

n（n+1）•2^n-2

．

Answer 1

分析：對C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x整理后再對x求導，最后令x=1代入整理即可得到結論．

解答：解：對C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x得：
xC_n¹+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=n•x•（1+x）^n-1，
再兩邊對x求導
得到：C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+n²C_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2
在上式中令x=1，得C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+n²C_nⁿ=n•2^n-1+n（n-1）•2^n-2=n（n+1）2^n-2．
故答案為：n（n+1）2^n-2．

點評：本題主要考查二項式定理的應用．是道好題，解決問題的關鍵在于對C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x整理后再對x求導，要是想不到這一點，就變成難題了．