Question

雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，O為坐標原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上，
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）若此雙曲線過，求雙曲線的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，D₁、D₂分別是雙曲線的虛軸端點（D₂在y軸正半軸上），過D₁的直線l交雙曲線于點M、N，，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）四邊形F₂ABO是平行四邊形，由=0，知平行四邊形F₂ABO是菱形．由此能求出雙曲線的離心率e．
（Ⅱ）由b²=c²-a²=3a²，雙曲線方程為，把點代入得a²=3，由此能求出雙曲線方程．
（Ⅲ）D₁（0，-3），D₂（0，3），設l的方程為y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，因l與與雙曲線有兩個交點，再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：（Ⅰ）四邊形F₂ABO是平行四邊形，
∴=0，即=0，
∴，
∴平行四邊形F₂ABO是菱形．
如圖，則r₂=d₁=c，r₁=2a+r₂=2a+c，
由雙曲線定義得r₁=d₁e⇒2a+c=ce⇒e²-e-2=0，
∴e=2（e=-1舍去）（3分）
（Ⅱ）由b²=c²-a²=3a²，
雙曲線方程為，
把點代入有得a²=3，
∴雙曲線方程．（6分）
（Ⅲ）D₁（0，-3），D₂（0，3），
設l的方程為y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則由，
因l與與雙曲線有兩個交點，∴3-k²≠0．
∵，，
△=36k²+4×18（3-k²）＞0（8分）
∴，
y₁•y₂=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=9，
，⇒x₁•x₂+y₁•y₂-3（y₁+y₁）+9=0
∴k²=5，
滿足△＞0，
∴（11分）
故所求直線l方程為（13分）
點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，求直線方程．主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．