Question

設,分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.
（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.

Answer 1

（1）；（2），.

試題分析：本題第（1）問，可結合與x軸垂直，由勾股定理及橢圓定義求出橢圓的離心率；對第（2）問，觀察到是三角形的中位線，然后結合向量的坐標運算及橢圓方程，可求出a,b.
試題解析：（1）由題意知，，所以，由勾股定理可得：，由橢圓定義可得：=，解得C的離心率為。
（2）由題意，原點O為的中點，∥y軸，所以直線與y軸的交點D（0，2）是線段的中點，故，即，由得，設，由題意知，則
，即，代入C的方程得，將及代入得：，解得，.
【易錯點】對第（1）問，較容易，大部分同學都能計算出；對第（2）問,一部分同學考慮不到中位線，
容易聯立方程組求解而走彎路，并且容易出現計算失誤.