Question

上海世博會上有一種舞臺燈，外形是正六邊棱柱，在其每個側面（編號分別是①②③④⑤⑥）上安裝5只顏色各異的燈，每只燈正常發光的概率是0.5，若一側面上至少有3只燈發光，則不需要更換這個面，否則需要更換這個面．
（1）求①號面需要更換的概率；
（2）求6個面上恰有2個面需要更換的概率．

Answer 1

分析：（1）根據題意，分析可得若①號面需要更換，則①號面上的5個燈中至少有3只燈不能正常發光，包括有3只、4只、5只燈不能正常發光三種情況，由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式計算可得每種情況的概率，相加可得答案；
（2）由（1）的結論，易得每個面需要更換的概率都為

1

2

，進而由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式，計算可得答案．

解答：解：（1）①號面需要更換，即①號面上的5個燈中至少有3只燈不能正常發光，
有3只燈不能正常發光的概率為C₅³（

1

2

）³（

1

2

）²=10×（

1

2

）⁵
有4只燈不能正常發光的概率為C₅⁴（

1

2

）⁴（

1

2

）=5×（

1

2

）⁵
有5只燈不能正常發光的概率為C₅⁵（

1

2

）⁵=（

1

2

）⁵
則①號面需要更換的概率P=16×（

1

2

）⁵=

1

2

；
（2）由（1）的結論，易得每個面需要更換的概率都為

1

2

，
則6個面中恰有2個面需要更換的概率P=C₆²（

1

2

）⁴（

1

2

）²=15×（

1

2

）⁶=

15

64

．

點評：本題考查n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率計算，注意至少、最多、至少一類詞的含義．