Question

已知.
（Ⅰ）求函數在上的最小值；
（Ⅱ）對一切恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對一切，都有成立.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求函數在上的最小值，先求出函數的定義域，然后求導數，根據導函數的正負判斷函數的單調性，由于的值不知，故需要分類討論，由得，，因此分，與兩種情況，進而可求出最小值；（Ⅱ）對一切恒成立，求實數的取值范圍，解這一類題，常常采用含有參數的放到不等式的一邊，不含參數（即含）的放到不等式的另一邊，轉化為函數的最值問題，由，則，構造函數，則，進而得到實數a的取值范圍；（Ⅲ）對一切，都有成立，即，結合（Ⅰ）中結論可知，構造新函數，分析其最大值，可得答案．
試題解析：（Ⅰ）. 
當單調遞減，當單調遞增   2分 
，即時，；      4分
②，即時，在上單調遞增，．
所以.                     6分
（Ⅱ），則，
設，則，     8分
①單調遞減，②單調遞增，
所以，對一切恒成立，
所以.                                  10分
（Ⅲ）問題等價于證明，
由（Ⅰ）可知的最小值是，當且僅當時取到. 12分
設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故當時取得最大值，即，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立.       14分
考點：函數在某點取得極值的條件，導數在最大值、最小值問題中的應用．