Question

（2013•江蘇一模）如圖，圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE．
（1）求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
（2）求二面角O-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用

DE

⊥

EF

?

DE

•

EF

=0，又|

OF

|=2，即可解得點F的坐標．利用異面直線EF與BD的方向向量的夾角即可得出所成角（銳角）的余弦值；
（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．
∴

DE

=(0，1，0)，

EF

=(x，y-1，-2)，

BD

=(0，-2，2)．
∵

DE

⊥

EF

，∴

DE

•

EF

=y-1=0，解得y=1．
又∵|

OF

|=2，

x2+y2

=2，取x＞0，把y=1代入解得x=

3

，∴F(

3

，1，0)，∴

EF

=(

3

，0，-2)．
cos＜

BD

，

EF

＞=

BD • EF

| BD | | EF |

=

-4

8 × 7

=-

14

7

．
∴異面直線EF與BD所成角（銳角）的余弦值為

14

7

；
（2）設平面DEF的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • DE =0 n1 • EF =0

得

y1=0 3 x1-2z1=0

，令x₁=2，則z1=

3

，y₁=0，
∴

n1

=(2，0，

3

)．
設平面ODF的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

n2 • OD =0 n2 • OF =0

，得

2z2=0 3 x2+y2=0

，
令x₂=1，則y2=-

3

，z₂=0．∴

n2

=(1，-

3

，0)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n2 | | n1 |

=

2

7 × 4

=

7

7

．
∴sinθ=

1-( 7 7 )2

=

42

7

．
∴二面角O-DF-E的正弦值為

42

7

．

點評：熟練掌握通過建立如圖所示的空間直角坐標系、利用異面直線的方向向量的夾角求得異面直線所成角、利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角、向量垂直與數量積的關系是解題的關鍵．