Question

從2008年9月12日含有三聚氰胺的“三鹿”嬰兒毒奶粉事件曝光后，國家質檢部門加大了對各種乳制品的檢查力度．現隨機抽取某品牌乳制品企業的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列及1件產品的平均利潤；
（Ⅱ）為了提高乳制品的質量，國內某名牌乳制品企業經技術革新，雖然仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，求三等品率最多是多少？

Answer 1

分析：（I）求出ξ的所有取值以及ξ取每一個值的概率值，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出1件產品的平均利潤；
（II）設三等品率最多為x，列出隨機變量ξ的分布列，利用隨機變量的期望公式列出關于x的不等式，求出x的范圍．

解答：（Ⅰ）ξ的取值：6、2、1、-2…（1分）
P（ξ=6）=

126

200

=0.63；P（ξ=2）=

50

200

=0.25；
P（ξ=1）=

20

200

=0.1；P（ξ=-2）=

4

200

=0.02；  …（4分）
ξ的分布列：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34…（6分）
（Ⅱ）設三等品率最多為x．

ξ	6	2	1	-2
P	0.7	0.29-x	x	0.01

…（9分）
Eξ=6×0.7+2×（0.29-x）+1×x+（-2）×0.01≥4.73
∴x≤0.03
∴三等品率最多為3%    …12分）

點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的期望與方差，屬于基礎題之列．