Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分別為棱AB，BC，A1C1的中點．
（1）證明：EF∥平面A1CD；
（2）證明：平面A1CD⊥平面ABB1A1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結DE，

∵D，E分別是AB，BC的中點

∴DE∥AC，DE= AC，

∵F為棱A1C1的中點．

∴A1F= A1C1，

∴A1F∥ AC，

即DE∥A1F，DE=A1F，

∴四邊形A1DEF為平行四邊形，

∴A1D∥EF

又∵EF平面A1CD，A1D平面A1CD，

∴EF∥平面A1CD

（2）證明：∵A1A⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴AA1⊥CD，

∵AC=BC，D為AB的中點，

∴AB⊥CD，

∵A1A∩AB=A

∴CD⊥平面ABB1A1

∵CD平面A1CD，

∴平面A1CD⊥平面ABB1A1．

【解析】（1）根據線面平行的判定定理證明EF∥A1D即可證明EF∥平面A1CD；（2）根據面面垂直的判定定理即可證明平面A1CD⊥平面ABB1A1 ．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．