(13分) （理科）已知雙曲線
與橢圓
有公共焦點，且以拋物線
的準線為雙曲線
的一條準線．動直線
過雙曲線的右焦點
且與雙曲線的右支交于
兩點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）無論直線繞點怎樣轉動，在雙曲線上是否總存在定點
，使
恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
（1）
（2）雙曲線
上存在定點
，使
恒成立
【解析】（理科）解：（1）設
，則由題意有：
∴
，
，
故雙曲線的方程為，
…………… 4分
（2）解法一：由（1）得點
為
當直線l的斜率存在時，設直線方程
，
，
將方程與雙曲線方程聯立消去
得：
，
∴
解得
…………… 6分
假設雙曲線上存在定點
，使恒成立，設為
則：
∵，∴
，
故得：
對任意的恒成立，
∴
，解得
∴當點為
時，恒成立；
…………… 10分
當直線l的斜率不存在時，由
，
知點使得也成立．
又因為點是雙曲線的左頂點，
…………… 12分
所以雙曲線上存在定點，使恒成立． ……………
13分
解法二（略解）：當直線l的斜率不存在時，由，，，且點在雙曲線上可求得，
當直線l的斜率存在時，將，
，
代入
，經計算發現對任意的恒成立，從而恒有成立．
因而雙曲線上存在定點，使恒成立．
科目：高中數學 來源：2014屆安徽省高一元月文理分班考試數學 題型：解答題
（13分，理科做）已知函數
的定義域為
，且同時滿足：①
；②
恒成立；③若
，則有
．
（1）試求函數的最大值和最小值；
（2）試比較
與
的大小
N）；
（3）某人發現：當x=
(nÎN)時，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：對一切xÎ(0,1
,都有
，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．
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科目：高中數學 來源：2010年重慶市高二下學期期中考試數學（文） 題型：解答題
16． (本小題滿分13分) 從4名文科教師和3名理科教師中任選3人擔任班主任．（寫出過程，最后結果用分數表示）
(1) 求所選3人都是理科教師的概率；
(2) 求所選3人中恰有1名理科教師的概率；
(3) 求所選3人中至少有1名理科教師的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分13分）
已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，點M是棱AA'的中點，點O是對角線BD'的中點.
（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱錐M－OBC的體積（理科做，文科不做）
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省高三第五次階段考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
某校從參加高三年級理科綜合物理考試的學生中隨機抽出
名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段
，
…
后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在
內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的
平均分；
（Ⅲ）若從名學生中隨機抽取
人，抽到的學生成績在
記
分，在
記
分，
在
記分，用
表示抽取結束后的總記分，求的分布列和數學期望.
【解析】（1）中利用直方圖中面積和為1，可以求解得到分數在內的頻率為
（2）中結合平均值可以得到平均分為：
（3）中用表示抽取結束后的總記分x, 學生成績在的有
人，在的有
人，在的有
人,結合古典概型的概率公式求解得到。
(Ⅰ)設分數在內的頻率為
，根據頻率分布直方圖，則有
，可得，所以頻率分布直方圖如右圖.……4分
（求解頻率3分，畫圖1分）
（Ⅱ）平均分為：……7分
（Ⅲ）學生成績在的有人，在的有人，
在的有人.并且的可能取值是
. ………8分
則
；
；
；
；
.（每個1分）
所以的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
…………………13分
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