Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．
（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；
（3）求點G到平面BCE的距離．

Answer 1

分析：解法一（空間向量法）（1）建立空間坐標系，設F是線段CE的中點，求出直線BF的方向向量和平面ACD的法向量，根據兩個向量垂直可得線面平行；
（2）分別求出平面BCD與平面ACD的法向量，代入向量夾角公式，求出兩個向量夾角的余弦值，進而可得二面角的大小
（3）求出BG的方向向量的坐標，進而根據d=|

n • BG

| n |

|，可得點G到平面BCE的距離
解法二（幾何法）（1）根據三角形中位線定理及平行四邊形的判定和性質，可得BF∥AH，進而由線面平行的判定定理得到BF∥平面ACD
（2）由已知條件可知△ACD即為△BCE在平面ACD上的射影，分別求出兩個三角形的面積，代入cosθ=

S△ACD

S△BCE

，可得二面角的大小
（3）連接BG、CG、EG，得三棱錐C-BGE，進而利用等積法，可求出點G到平面BCE的距離．

解答：解：解法一（空間向量法）：
以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得x軸和z軸的正半軸分別經過點A和點E，則各點的坐標為D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1，

3

，0），
（1）點F應是線段CE的中點，下面證明：
設F是線段CE的中點，則點F的坐標為（

1

2

，

3

2

，1），
∴

BF

=（-

3

2

，

3

2

，0）
又∵

DE

=（0，0，2）為平面ACD的一個法向量
且

BF

•

DE

=0
∴BF∥平面ACD；       …（4分）
（2）設平面BCE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

⊥

CB

，且

n

⊥

CE

，
由

CB

=（1，-

3

，1），

CE

=（-1，-

3

，2）得，

x- 3 y+z=0 -x- 3 y+2z=0

不妨設y=

3

，則

n

=（1，

3

，2）
又∵

DE

=（0，0，2）為平面ACD的一個法向量
∴所求角θ滿足cosθ=

n • DE

| n |•| DE |

=

2

2

，
∴平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小為

π

4

；       …（8分）
（3）由已知G點坐標為（1，0，0），
∴

BG

=（-1，0，-1），
由（2）平面BCE的法向量為

n

=（1，

3

，2）
∴所求距離d=|

n • BG

| n |

|=

3

4

2

．                        …（12分）
解法二：（幾何法）
（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥ED，
設F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，
連接FH，則FH∥ED且FH=ED，
∴FH∥AB且FH=AB，…（2分）
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內，AH?平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…（4分）
（2）由已知條件可知△ACD即為△BCE在平面ACD上的射影，
設所求的二面角的大小為θ，則cosθ=

S△ACD

S△BCE

，…（6分）
易求得BC=BE=

5

，CE=2

2

，
∴S_△BCE=

6

，
而S_△ACD=

3

，
∴cosθ=

S△ACD

S△BCE

=

2

2

，
∴θ=

π

4

；          …（8分）
（3）連接BG、CG、EG，得三棱錐C-BGE，
由ED⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
又CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED，
設G點到平面BCE的距離為h，
則V_C-BGE=V_G-BCE=

1

3

S_△BCE•GC=

1

3

S_△BCE•h，
由S_△BCE=

6

，S_△BGE=

3

2

，CG=

3

，
∴h=

3

4

2

即為點G到平面BCE的距離．…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中方法一建立空間坐標系將空間線面關系轉化為向量關系，是常用的解題方法，要求熟練掌握．