Question

已知函數f（x）=a-

2

2x-1

（a∈R）．
（1）用單調函數的定義探索函數f（x）的單調性：
（2）求實數a使函數f（x）為奇函數．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義進行證明．
（2）利用函數的奇偶性得f（-1）=f（1），解得a的值，然后利用函數的奇偶性的定義證明求得的a值符合定義．

解答：解：（1）函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1-1

）-（a-

2

2x2-1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，
對?x₁，x₂∈（-∞，0），2x1＜1，2x2＜1，即2x1-1＜0，2x2-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數．
同理可證f（x）在（0，+∞）上也是增函數．
（2）若函數是奇函數，則f（-1）=f（1）⇒a=-1，
當a=-1時，對?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），-x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）+f（x）=-1-

2

2x-1

-1-

2

2-x-1

=-2-

2

2x-1

-

2•2x

1-2x

=-2+2=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴當a=-1，使函數f（x）為奇函數．
∴a=-1為所求．

點評：本題考查了函數奇偶性與單調性的定義及應用，要熟練掌握用定義法證明函數的奇偶性與單調性．