Question

【題目】已知函數 ．

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當， 時，對任意，有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當， 時，函數在上單調遞增；當， 時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．（2）

【解析】試題分析：（1）求出導數對分類討論，明確函數函數的單調性；（2）對任意，有成立，等價于． ，函數在上單調遞減，在上單調遞增， 為與中的較大者．

試題解析：

（1）函數的定義域為．

當時， ，所以．

當時， ，所以函數在上單調遞增．

當時，令，解得，

當時， ，所以函數在上單調遞減；

當時， ，所以函數在上單調遞增．

綜上所述，當， 時，函數在上單調遞增；

當， 時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）因為對任意，有成立，所以．

當即時， ， ．

令，得；令，得．

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

為與中的較大者．

設 ，

則，

所以在上單調遞增，故所以，

從而 ．

所以即．

設 ，則．

所以在上單調遞增．

又，所以的解為．

因為，所以的取值范圍為．