Question

已知

x2

9

+

y2

5

=1的焦點F₁、F₂，在直線l：x+y-6=0上找一點M，求以F₁、F₂為焦點，通過點M且長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

分析：在直線l：x+y-6=0上找一點M，使得|MF₁|+|MF₂|最小，根據對稱性，只需要求出F₁關于直線l的對稱點F₁′（6，4），連F₁′F₂交l于一點，即為所求的點M，故可解．

解答：解：由

x2

9

+

y2

5

=1，得F₁（2，0），F₂（-2，0）（3分）
F₁關于直線l的對稱點F₁′（6，4）（4分）
連F₁′F₂交l于一點，即為所求的點M，
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=|F₁′F₂|=

(6+2)2+42

=4

5

，
∴a=2

5

（4分）
又c=2，
∴b²=16，（4分）
故所求橢圓方程為

x2

20

+

y2

16

=1．     （3分）

點評：本題重點考查圖形的對稱性，考查橢圓的定義及橢圓的標準方程，求出F₁關于直線l的對稱點F₁′（6，4）是解題的關鍵．