Question

【題目】在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．

（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD平面BCD，∴AB⊥CD

（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．

∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，

∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M ．

∴ =（0，1，﹣1）， =（1，1，0）， = ．

設平面BCM的法向量 =（x，y，z），則 ，

令y=﹣1，則x=1，z=1．

∴ =（1，﹣1，1）．

設直線AD與平面MBC所成角為θ．

則sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（1）利用面面垂直的性質定理即可得出；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計算公式sinθ=|cos |= 即可得出．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．