Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且滿足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求實數a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求證aabb＞abba ．

Answer 1

【答案】
解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，
則（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根據絕對值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，
即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，實數a的取值集合為A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨設a＞b＞0，則a﹣b＞0且＞1，
則＞1恒成立，即＞1，
所以，aa﹣b＞ba﹣b ，
將該不等式兩邊同時乘以abbb得，
aabb＞abba ， 即證．
【解析】（1）根據絕對值三角不等式得|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，求得最小值；
（2）運用指數函數的性質，不妨設a＞b＞0，則a﹣b＞0且＞1，則＞1恒成立．