Question

設T_n為數列{a_n}的前n項的積，即T_n=a₁•a₂…a_n．
（1）若T_n=n²，求a₃a₄a₅的值；
（2）若數列{a_n}各項都是正數，且滿足T_n=

a 2 n

4

（（n∈N^*），證明數列{log₂a_n}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（3）數列{a_n}共有100項，且滿足以下條件：①a₁•a₂…a₁₀₀=2；②等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2對1≤k≤99，k∈N^*恒成立．試問符合條件的數列共有多少個？為什么？

Answer 1

分析：（1）由T_n=a₁•a₂…a_n=n²，知a₃a₄a₅=

T5

T2

，由此能求出a₃a₄a₅的值．
（2）當n=1時，a₁=4，log₂a₁=2，當n≥2時，an=

Tn

Tn-1

=

an2

an-12

，由此能夠證明數列{log₂a_n}為等比數列，并求{a_n}的通項公式．
（3）由a₁•a₂…a₁₀₀=2，等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2對1≤k≤99，k∈N^*恒成立，知a1+

2

a1

=3，解得a₁=1，或a₁=2．T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一個實根，當數列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積T_k確定，由此能求出符合條件的數列的個數．

解答：解：（1）∵T_n=a₁•a₂…a_n=n²，
∴a₃a₄a₅=

T5

T2

=

25

4

．
（2）當n=1時，a₁=T₁=

a12

4

，
∴a₁=4，log₂a₁=2，
當n≥2時，an=

Tn

Tn-1

=

an2

an-12

，
∵a_n＞0，∴an=an-12，
∴log₂a_n=2log₂a_n-1，
∴數列{log₂a_n}為等比數列，
log_aa_n=2ⁿ，∴an=22n．
（3）∵a₁×a₂×…×a₁₀₀=2；
等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=3對1≤k≤99，k∈N^*恒成立，
∴a₁+a₂•a₃×…×a₁₀₀=k+2，
∴a1+

2

a1

=3，解得a₁=1，或a₁=2．
T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一個實根，
△=[-（k+2）]²-4=k²+4k＞0，
當數列前k（2≤k≤98）項確定后，
其前k項積T_k確定，
由T_k+1可得到兩個a_k+1，
所以符合條件的數列共有2⁹⁹個．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查符合條件的數列個數的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．