Question

若雙曲線以橢圓的長軸的兩個端點為焦點，且經過點（，3），求雙曲線的標準方程，并求出它的離心率和漸近線方程．

Answer 1

【答案】分析：利用橢圓的三個參數的關系求出橢圓的焦點坐標，設出雙曲線的方程，將已知點的坐標代入雙曲線方程得到雙曲線的三個參數的一個關系，再利用雙曲線本身具有的關系，求出a，b，c的值，即得到雙曲線的方程，最后寫出它的離心率和漸近線方程即可．
解答：解：橢圓長軸的兩個端點坐標為（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求雙曲線的焦點為F₁（-5，0），F₂（5，0），
設所求雙曲線方程為，…（2分）
∴a²+b²=25①…（3分）
又雙曲線經過點（，3），所以有②…（4分）
由①②解得a²=16，b²=9                              …（8分）
∴所求雙曲線的方程為．        
∵a²=16，b²=9∴c²=7                     
∴e=，
漸近線方程：y=±x                                …（12分）
點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法，要注意圓錐曲線中的三個參數關系的區別，雙曲線中有c²=a²+b²而橢圓中有a²=c²+b²