Question

已知函數f(x)=

2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

，函數g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

[

1

2

，

4

3

]

．

Answer 1

分析：根據x的范圍確定函數f（x）的值域和g（x）的值域，進而根據f（x₁）=g（x₂）成立，推斷出[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，先看當二者的交集為空集時刻求得a的范圍，進而可求得當集合的交集非空時a的范圍．

解答：解：當x∈（

1

2

，1]時，f(x)=

2x3

x+1

是增函數，y∈（

1

6

，1]，
當x∈[0，

1

2

]時，f（x）=-

1

3

x+

1

6

是減函數，
∴y∈[0，

1

6

]，如圖．
∴函數f(x)=

2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

的值域為[0，1]．
g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)值域是[2-2a，2-

3a

2

]，
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]=∅，則2-2a＞1或2-

3a

2

＜0，即a＜

1

2

或a＞

4

3

，
∴a的取值范圍是[

1

2

，

4

3

]．
故答案為：[

1

2

，

4

3

]．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，分段函數的值域問題，不等式的應用．解題的關鍵是通過看兩函數值域之間的關系來確定a的范圍．