Question

數列{a_n}是公差為正數的等差數列，a₁=f（x-1），a₂=0，a₃=f（x+1），其中f（x）=x²-4x+2，則數列{a_n}的通項公式a_n=

2n-4

．

Answer 1

分析：分別求出求出f（x-1）和f（x+1）得到a₁和a₃，然后利用等差中項的概念列式求得x的值，根據數列{a_n}是公差為正數的等差數列對首項及公差進行取舍，從而求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：因為f（x）=x²-4x+2，
所以a₁=f（x-1）=（x-1）²-4（x-1）+2=x²-6x+7，
a₃=f（x+1）=（x+1）²-4（x+1）+2=x²-2x-1，
由數列{a_n}是公差為正數的等差數列，
所以a1+a3=(x2-6x+7)+(x2-2x-1)
=2x²-8x+6=0．
解得：x=1或x=3．
當x=1時，a3=12-2×1-1=-2＜0=a₂，與題意不符舍去．
當x=3時，a1=32-6×3+7=-2＜0=a2．
所以數列{a_n}是以-2為首項，以2為公差的等差數列．
所以a_n=a₁+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4．
故答案為2n-4．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了等差中項的概念，訓練了一元二次方程的解法，正確解答此題的關鍵是對x的取值加以驗證，是基礎題．