Question

【題目】在等差數列{an}中，a1+a3=10，d=3．令bn= ，數列{bn}的前n項和為Tn ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d，由a1+a3=10，d=3，得

，

解得a1=2，

所以an=2+3（n﹣1）=3n﹣1（n∈N+）

（2）解：由（1）知，an=3n﹣1．

所以bn= = = = （ ﹣ ），

∴Tn= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ）=

（3）解：假設否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比數列，

由（2）知，T1= ，Tm= ，Tn= ，

因為T1，Tm，Tn成等比數列，

所以（ ）2= × ，即 = ，

整理，得

n（﹣3m2+6m+2）=5m2．（*）

①當m=2時，（*）式可化為2n=20，所以n=10．

②當m≥3時，﹣3m2+6m+2=﹣3（m﹣1）2+5≤﹣7＜0．

又因為5m2＞0，

所以（*）式可化為n= ＜0，

所以此時n無正整數解．

綜上可知，存在滿足條件的正整數m，n，此時m=2，n=10

【解析】（1）根據等差數列的通項公式求得首項a1的值，則易求數列{an}的通項公式；（2）利用拆項法求得數列{bn}的通項公式，則易求Tn；（3）假設否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比數列，結合等比數列的性質得到 = ，從而求得符合條件的m、n的值．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．