Question

【題目】已知動圓經過定點，且與定直線相切．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）已知點，過點作直線與交于，兩點，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，（為原點），求證：為線段中點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據拋物線的定義，可得圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，從而得出方程；

（2）設，，設直線斜率為，則直線方程為，與拋物線聯立得出，且，寫出韋達定理，，再通過直線的交點分別求出和，從而求出，結合韋達定理，化簡得，即可證出：為線段中點．

解：（1）由題意知，動圓圓心到定點的距離與到定直線的距離相等，

由拋物線定義知，

動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，

其中，

即動圓圓心的軌跡方程為:.

（2）設，，顯然直線斜率存在且不為0，設為，

則直線方程為，

將與拋物線方程：聯立，

得，，，，

又，聯立得，

同理可得，

則

，

即，

所以為線段中點．