Question

在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC=PD=2AD，PD⊥底面ABCD，點E是PB的中點．
（I）證明：BC⊥PC；
（Ⅱ）證明：AE∥平面PDC；
（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PBC．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明BC⊥平面PDC，可得BC⊥PC；
（Ⅱ）證明四邊形AEFD是平行四邊形，可得AE∥DF，利用線面平行的判定，可以證明AE∥平面PDC；
（Ⅱ）證明DF⊥平面PBC，利用DF∥AE，可得AE⊥平面PBC，利用面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBC．
解答：證明：（I）∵PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD．
∵∠BCD=90°，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，∴BC⊥PC（2分）
（II）取PC的中點F，連結DF，EF．
，∴，∴
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AE∥DF．
又DF?平面PDC，AE?平面PDC，
∴AE∥平面PDC．（5分）
（III）∵BC⊥平面PDC，DF?平面PDC，∴BC⊥DF
又∵PD=DC，F是PC的中點，∴DF⊥PC，∴DF⊥平面PBC
又∵DF∥AE，∴AE⊥平面PBC
又∵AE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC（7分）
點評：本題考查線面垂直、線面平行，面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．