Question

設函數

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，是否存在整數m，使不等式恒成立？若存在，求整數m的值；若不存在，請說明理由；

（3）關于x的方程在[0,2]上恰有兩個相異實根，求實數a的取值范圍。

 

Answer 1

（1）函數的遞增區間是；減區間是；（2）存在整數，使不等式恒成立；（3）實數m的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）先求出函數的定義域，再求出其導函數，令導函數大于0得到函數的增區間，考慮自變量取值最后得到單調區間即可；

（2）根據（1）求出函數的最值，不等式恒成立意味著，，求出解集得到的整數解即可；

（3）在[0,2]上，由和條件相等得到，即，然后令求出其導函數，由得；由得；所以在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增，得到和都大于等于0，小于0，列出不等式組，求出解集即可得出實數a的取值范圍．

試題解析：（1）由得函數的定義域為，

。

由得由

函數的遞增區間是；減區間是；

（2）由（Ⅰ）知，f（x）在上遞減，在上遞增；

又且

時，

不等式恒成立，

即

是整數，

存在整數，使不等式恒成立

（3）由得

令則

由

在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增

方程在[0,2]上恰有兩個相異實根

函數在和上各有一個零點，

實數m的取值范圍是

考點：利用導數研究函數的單調性；函數恒成立問題；函數與方程的綜合運用．