Question

（2012•江蘇一模）選做題
（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB到C，使BC=

3

，CD切半圓于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AE：EB=3：1，求DE的長．
（B）選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx在矩陣

0 1 1 0

對應的變換下得到的直線經過點P（4，1），求實數k的值．
（C）選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，已知圓ρ=asinθ（a＞0）與直線ρcos(θ+

π

4

)=1相切，求實數a的值．
（D）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c滿足abc=1，求證：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

Answer 1

分析：（A）連接OD、BD，由題目中條件知：“DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點”可得三角形BOD是等邊三角形，設圓的半徑為R，再在直角三角形OCD中，可得CD的長，最后根據題中圓的切線條件再依據切割線定理求得DE的長．
（B）設變換T：

x y

→

x′ y′

，直線y=kx上任意一點（x，y），（x′，y′）是所得的直線上一點，根據矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關系，把已知的點的坐標代入得到直線的方程，得到結果．
（C）先圓ρ=acosθ與直線ρcos(θ+

π

4

)=1，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標系，再利用直角坐標方程求解即可．
（D）：將（a+2）（b+2）（c+2）展開，再利用基本不等式結合條件abc=1，即可證得．

解答：解：（A）連接OD，
∵DE⊥AB，垂足為E，且AE：EB=3：1得E是OB的中點
∴可得等腰三角形BOD是等邊三角形，
在直角三角形OCD中，∠COD=60°，設圓的半徑為R，
∴可得CD=

3

OD=

3

R，
∵CD是圓O的切線，∴由切割線定理得，
∴CD²=CB×CA，
即3R²=

3

×（

3

+2R）
∴R=

3

，
∴DE=

3

OE=

3

×

3

2

=

3

2

；
（B）：設變換 T：

x y

→

x′ y′

，
則 

x′ y′

=

0 1 1 0

x y

，（5分）
即

x=y′ y=x′

代入直線y=kx得y'=kx'，
將點P（4，1）代入，
得k=

1

4

．
（C）：p²=apcosθ，圓ρ=acosθ的普通方程為：x²+y²=ax，（x-

a

2

）²+y²=（

a

2

）²，
直線ρcos(θ+

π

4

)=1的普通方程為：x-y-

2

=0，
又圓與直線相切，所以

|0- a 2 - 2 |

2

=a，解得：a=4±2

2

．
∵a＞0，∴a=4+2

2

．
（D）：（a+2）（b+2）（c+2）
=abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8
≥1+2×3

3	a2b2c2

+4×3

3	abc

+8
=27，當且僅當a=b=c時等號成立．

點評：本題主要考查二階矩陣的變換，簡單曲線的極坐標方程，不等式的證明等．考查運算求解能力．