Question

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）證明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直得到線與線垂直，根據直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結果．
（2）做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解答：解：（1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2

3

，BC=2，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

FC

EA

=

1

3

∴FC⊥平面ABC．∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理證得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的
二面角的平面角．（8分）
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=

3

，
由

FC

EA

=

GC

GA

=

1

3

，得GC=2．
∵BG=

BM2+MG2

=2

3

，
又∵△GCH∽△GBM，∴

GC

BG

=

CH

BM

，則CH=

GC•BM

BG

=

2× 3

2 3

=1．（12分）
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

2

2

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，考查應用向量知識解決數學問題的能力，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．