Question

已知函數f(x)＝a^x＋x²－xln a(a>0，a≠1)．
(1)求函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)求函數f(x)的單調增區間；
(3)若存在x₁，x₂∈[－1,1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1(e是自然對數的底數)，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）y＝1
（2）(0，＋∞)
（3）

解：(1)因為函數
f(x)＝a^x＋x²－xln a(a>0)，a≠1)，
所以f′(x)＝a^x  ln a＋2x－ln a，
f′(0)＝0，又因為f(0)＝1，
所以函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.
(2)由(1)知f′(x)＝a^xln a＋2x－ln a
＝2x＋(a^x－1)ln a.
因為當a>0，a≠1時，總有f′(x)在R上是增函數，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集為(0，＋∞)，故函數f(x)的單調增區間為(0，＋∞)．
(3)因為存在x₁，x₂∈[－1,1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1成立，而當x₁，x₂∈[－1,1]時，|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min，所以只要f(x)_max－f(x)_min≥e－1即可．當x變化時，f′(x) ，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

 
所以f(x)在[－1,0]上是減函數，在[0,1]上是增函數，所以當x∈[－1,1]時，f(x)的最小值f(x)_min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)_max為f(－1)和f(1)中的最大值．
f(1)－f(－1)
＝(a＋1－ln a)－
＝a－－2ln a.
令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，
因為g′(a)＝1＋－＝²≥0，
所以g(a)＝a－－2ln a在a∈(0，＋∞)上是增函數.
而g(1)＝0，故當a>1時，g(a)>0，
即f(1)>f(－1)；
當0<a<1時，g(a)<0，即f(1)<f(－1)．
所以當a>1時，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，易得函數y＝a－ln a在a∈(1，＋∞)上是增函數，解得a≥e；
當0<a<1時，f(－1)－f(0)≥e－1，
即＋ln a≥e－1，易得函數y＝＋ln a在a∈(0,1)上是減函數，解得0<a≤.
綜上可知，實數a的取值范圍為.