Question

如圖，橢圓C ：的左右頂點為A₁，A₂，左右焦點為F₁，F₂，其中F₁，F₂是A₁A₂的三等分點，A是橢圓上任意一點,且|AF₁|+|AF₂|=6
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線AF₁與橢圓交于另一點B，與y軸交于一點C，記，若點A在第一象限，求m+n的取值范圍；

Answer 1

解：(1)∵F₁，F₂是A₁A₂的三等分點
∴a=3c
又∵|AF₁|+|AF₂|=6  
∴a=3  
∴b²=8
∴橢圓C的方程為：
（2）F₁(-1,0),當直線與x軸重合時，顯然不合題意，
當直線不與x軸重合時，設直線AF₁：x=my-1 
 代入到橢圓方程并消元整理得：（8m²+9)y²-16my-64=0 …………①
△=16²×9(m²+1)>0恒成立；
設A（x₁,y₁),B(x₂,y₂),則y₁,y₂是方程①的兩個解，
由韋達定理得：
在x=my-1中令x=0得C點坐標為
(∵A在第一象限∴x₁=my₁-1>0,y₁>0)
同理：

∵A在第一象限  
∴C點在橢圓內部


∴m+n的取值范圍是（2，+∞）