Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應(yīng)值如下表．f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示．

x	-1		2	4	5
f（x）	1	2		2	1

下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
②如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4；
③函數(shù)y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2；
④已知（a，b）是的一個單調(diào)遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個

Answer 1

【答案】分析：由導(dǎo)數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)性，故可判斷①；結(jié)合表格中幾個特殊點的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析t取不同值時，函數(shù)的最大值變化情況，可判斷②；結(jié)合表格中幾個特殊點的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的極值，分析可判斷③；根據(jù)f（x）的單調(diào)性，分析出的單調(diào)性，進(jìn)而求出b-a的最大值．
解答：解：由導(dǎo)數(shù)圖象可知，
當(dāng)-1＜x＜0或1＜x＜4時，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1或4＜x＜5，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以①正確；
當(dāng)x=0和x=4，函數(shù)取得最大值f（0）=2，f（4）=2，
當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為5，故②不正確；
由f（-1）=f（5）=1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，
可得若y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2，故③正確；
∵的單調(diào)性與y=f（x）的單調(diào)性相反，
結(jié)合的定義域為[-1，a）∪（a，2）∪（2，5]，其中a∈（0，1）
故在（-1，0），（a，2），（2，4）上為減函數(shù)，
故（a，b）是的一個單調(diào)遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2，故④正確
故四個命題中有3個為真命題
故選B
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系，正確運用導(dǎo)函數(shù)圖象是關(guān)鍵．