Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

nan

(2n+1)•2n

是否存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，化簡可得數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，由a₂+a₄=2a₃+4，求出首項，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項，利用得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，正整數(shù)m、n（1＜m＜n），即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因為

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，
所以（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
因為a_n＞0，?
所以有2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
所以數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，?
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
從而數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ．…（6分）
（II）bn=

nan

(2n+1)•2n

=

n

2n+1

，
若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，
即

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

，
所以-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N^*，且m＞1，所以m=2，此時n=12．
故當且僅當m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，正確運用數(shù)列遞推式是關(guān)鍵．